Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · tehnologic

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

A = (1 - 2 21)

și

B (x) = (2 - 1 x 2 x)

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det A = 5$ .
b)
Arătați că $A + 3 I_{2} = 2 B (1)$ .
c)
Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (B (2 x) - B (x) \cdot A) = x^{2}$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula determinantul unei matrici, trebuie să aplici formula specifică tipului de matrice.
a)
Reține formula pentru determinantul unei matrici $2 \times 2$ , $M = (a c b d)$ , care este $d e t (M) = a d - b c$ .
a)
Identifică elementele $a, b, c, d$ din matricea $A$ și înlocuiește-le în formula determinantului.
b)Pentru a demonstra egalitatea a două expresii matriciale, calculează fiecare parte a egalității separat și arată că rezultatele sunt identice.
b)
Calculează mai întâi $3 I_{2}$ prin înmulțirea fiecărui element al matricei $I_{2}$ cu scalarul 3. Apoi, pentru $B (1)$ , înlocuiește $x = 1$ în expresia matricei $B (x)$ .
b)
Efectuează adunarea $A + 3 I_{2}$ și înmulțirea $2 B (1)$ element cu element, apoi compară cele două matrici rezultate.
c)Abordează problema pas cu pas: calculează mai întâi produsul matricial, apoi diferența, apoi determinantul, și în final rezolvă ecuația rezultată.
c)
Calculează produsul de matrici $B (x) \cdot A$ . Reține că elementul de pe poziția $(i, j)$ din produs este suma produselor elementelor de pe linia $i$ din prima matrice cu elementele de pe coloana $j$ din a doua matrice. Apoi, efectuează scăderea matricilor $B (2 x) - (B (x) \cdot A)$ .
c)
După ce ai obținut matricea rezultată din $B (2 x) - B (x) \cdot A$ , calculează determinantul acestei matrici $2 \times 2$ și egalează-l cu $x^{2}$ . Vei obține o ecuație în $x$ pe care trebuie să o rezolvi.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.