Matematică

Primitive și integrale — Subiectul III. 2

greuBacalaureat 2025 · Varianta 9 · mate-info

Primitive și integraleLimite și continuitate

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 3 x^{2} - 1 + e^{2 x}

a)
Arătați că $\int_{0}^{3} (f (x) - e^{2 x}) d x = 24$ .
b)
Arătați că $\int_{0}^{1} 4 x (f (x) - 3 x^{2} + 1) d x = e^{2} + 1$ .
c)
Demonstrați că $lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}} \int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t + 1} d t = 1$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a simplifica calculul integralei, începeți prin a simplifica expresia de sub integrală, adică $f (x) - e^{2 x}$ .
a)
Înlocuiți expresia lui $f (x)$ în integrală și observați ce termeni se reduc. Apoi, integrați funcția polinomială rezultată folosind formula $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .
a)
Calculați $f (x) - e^{2 x}$ și veți obține o funcție polinomială simplă. Apoi, determinați o primitivă a acestei funcții și evaluați-o între limitele de integrare $0$ și $3$ .
b)
Similar cu subpunctul a), începeți prin a simplifica expresia din paranteză, $f (x) - 3 x^{2} + 1$ .
b)
După simplificarea parantezei, veți obține o funcție simplă. Înmulțiți această funcție cu $4 x$ și apoi integrați rezultatul.
b)
Calculați $f (x) - 3 x^{2} + 1$ . Veți observa că obțineți o funcție exponențială. Apoi, integrați produsul $4 x \cdot (func ț ia exponen ț ial \overset{a}{˘})$ și evaluați integrala definită de la $0$ la $1$ .
c)
Pentru a evalua această limită, observați că este de forma $\frac{0}{0}$ când $x \to 0$ . În astfel de cazuri, regula lui L'Hôpital este o metodă eficientă.
c)
Aplicați regula lui L'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul în raport cu $x$ . Nu uitați că derivata unei integrale de forma $\int_{a}^{x} g (t) d t$ cu limită superioară variabilă este $g (x)$ .
c)
Derivați numărătorul folosind Teorema Fundamentală a Calculului Integral, care spune că $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} \frac{f ( t )}{t + 1} d t = \frac{f ( x )}{x + 1}$ . Derivați și numitorul $x^{2}$ . Apoi, calculați limita expresiei rezultate.

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →