Matematică

Matrice și sisteme — Subiectul II. 1

mediuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · mate-info

Matrice și sisteme

Se consideră matricele

I_{3} = 100010001

și

M (x) = 2 x - x 0 3 x - 2 x 0 - 3 1 x + 1

, unde

x

este număr real.

a)
Arătați că $det (M (0)) = 0$ .
b)
Arătați că $M (x) \cdot M (y) - x y I_{3} = (x + y + 1) M (0)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c)
Determinați numărul real $x$ pentru care $M (1) \cdot M (x) - M (2) \cdot M (\frac{x}{2}) = 2 M (0)$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula $det (M (0))$ , trebuie mai întâi să determinați matricea $M (0)$ prin substituirea valorii $x = 0$ în expresia lui $M (x)$ .
a)
Odată ce ați obținut matricea $M (0)$ , calculați determinantul acesteia folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană.
a)
Scrieți explicit matricea $M (0)$ și aplicați regula lui Sarrus, care implică sume și diferențe de produse ale elementelor de pe diagonale.
b)
Pentru a verifica egalitatea, calculați separat membrul stâng ( $M (x) \cdot M (y) - x y I_{3}$ ) și membrul drept ( $(x + y + 1) M (0)$ ).
b)
La calculul produsului $M (x) \cdot M (y)$ , folosiți definiția înmulțirii matricelor. Observați că $M (0)$ este o matrice specifică, cu elemente simple.
b)
După ce ați calculat $M (x) \cdot M (y)$ , scădeți matricea $x y I_{3}$ . Apoi, încercați să factorizați $(x + y + 1)$ din elementele matricei rezultate pentru a obține $(x + y + 1) M (0)$ .
c)
Observați că ecuația dată implică produse de forma $M (a) \cdot M (b)$ , similar cu expresia din subpunctul b).
c)
Folosiți identitatea demonstrată la subpunctul b), $M (a) \cdot M (b) - ab I_{3} = (a + b + 1) M (0)$ , pentru a simplifica fiecare produs din membrul stâng al ecuației.
c)
Aplicați identitatea din b) pentru $M (1) \cdot M (x)$ și $M (2) \cdot M (\frac{x}{2})$ . Substituiți aceste expresii în ecuația dată și simplificați, ținând cont că termenii cu $I_{3}$ se vor anula.

Matrice și sisteme, din alte variante, de la ușor la greu.