Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2025 · Varianta 3 · mate-info

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : (0, + \infty) \to R

f (x) = \frac{2 x - 2 + l n x}{x}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{3 - l n x}{x ^{2}}$ , $x \in (0, + \infty)$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 1} \frac{f ( x )}{l n x} = 3$ .
c)
Determinați cel mai mare număr întreg $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata funcției $f (x) = \frac{2 x - 2 + l n x}{x}$ , trebuie să aplicați regula de derivare a unui cât de funcții.
a)
Folosiți formula $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , unde $u (x) = 2 x - 2 + ln x$ și $v (x) = x$ .
a)
Calculați derivatele $u^{'} (x)$ și $v^{'} (x)$ , apoi înlocuiți-le în formula derivatei câtului și simplificați expresia obținută.
b)
Pentru a calcula limita $lim_{x \to 1} \frac{f ( x )}{l n x}$ , înlocuiți expresia lui $f (x)$ și verificați dacă obțineți o formă nedeterminată.
b)
Dacă obțineți o formă nedeterminată de tipul $\frac{0}{0}$ , puteți aplica Regula lui L'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul expresiei.
b)
Calculați derivatele funcțiilor $2 x - 2 + ln x$ (numărătorul) și $x ln x$ (numitorul) și apoi reevaluați limita pentru $x \to 1$ .
c)
Pentru a determina valorile lui $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are cel puțin o soluție, trebuie să analizați imaginea (mulțimea valorilor) funcției $f$ .
c)
Studiați monotonia funcției $f$ folosind semnul derivatei $f^{'} (x)$ și calculați limitele funcției la capetele domeniului de definiție $(0, + \infty)$ .
c)
Determinați punctul de extrem local al funcției rezolvând ecuația $f^{'} (x) = 0$ și calculați valoarea funcției în acel punct. Apoi, identificați cel mai mare număr întreg $m$ care se află în intervalul imaginii funcției.

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.