Matematică

Limite și continuitate, Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · mate-info

Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = e^{x} (2 x - 4) + x^{2} - 2 x + 4

a)
Arătați că $f^{'} (x) = 2 (x - 1) (e^{x} + 1)$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to 0} \frac{f ( x )}{1 - e ^{x}} = 4$ .
c)
Arătați că ecuația $f (x) = 0$ are exact două soluții.

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții care este o sumă de termeni, se derivează fiecare termen în parte. Pentru produsul $e^{x} (2 x - 4)$ , folosiți regula de derivare a produsului.
a)
Regula de derivare a produsului este $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ . Aplicați-o pentru $u = e^{x}$ și $v = 2 x - 4$ .
a)
Derivați $e^{x} (2 x - 4)$ ca $(e^{x})^{'} (2 x - 4) + e^{x} (2 x - 4)^{'}$ și apoi adunați derivata părții polinomiale $x^{2} - 2 x + 4$ . Simplificați și factorizați expresia obținută.
b)
Începeți prin a evalua funcția $f (x)$ și numitorul $1 - e^{x}$ în punctul $x = 0$ . Ce formă de nedeterminare obțineți?
b)
Dacă obțineți o formă de nedeterminare de tipul $\frac{0}{0}$ , puteți aplica Regula lui L'Hôpital, care implică derivarea separată a numărătorului și a numitorului.
b)
Calculați derivatele $f^{'} (x)$ (folosind rezultatul de la subpunctul a) și $(1 - e^{x})^{'}$ . Apoi, calculați limita raportului acestor derivate când $x \to 0$ .
c)
Pentru a determina numărul de soluții ale ecuației $f (x) = 0$ , studiați variația funcției $f (x)$ utilizând prima derivată și limitele la capetele domeniului de definiție.
c)
Analizați semnul lui $f^{'} (x)$ (care este $2 (x - 1) (e^{x} + 1)$ ) pentru a găsi intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $f$ .
c)
Calculați valorile funcției în punctele de extrem local și limitele funcției la $\pm \infty$ . Pe baza acestor informații și a continuității funcției, deduceți numărul de intersecții ale graficului cu axa $O x$ .

Exersează același capitol

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.

Vezi toate cele 27 de exerciții din Limite și continuitate →