Matematică
Limite și continuitate — Subiectul III. 1
greuBacalaureat 2024 · Varianta 10 · mate-info
Limite și continuitateDerivate și funcțiiEcuații și inecuații
Se consideră funcția , .
- a)Arătați că , .
- b)Arătați că .
- c)Arătați că ecuația are exact două soluții.
Indicii
0/9Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.
- a)Pentru a calcula derivata funcției f(x), va trebui să aplici regulile de derivare pentru sumă și produs de funcții.
- a)Termenul eˣ(2x-4) necesită aplicarea regulii de derivare a produsului (uv)' = u'v + uv'.
- a)Calculează derivata fiecărui termen al funcției și apoi factorizează expresia obținută pentru a ajunge la forma cerută.
- b)Verifică forma nedeterminată a limitei atunci când x tinde la 0. Dacă este de tipul 0/0 sau ∞/∞, poți aplica Regula lui L'Hôpital.
- b)Calculează f(0) și valoarea numitorului 1-eˣ pentru x=0 pentru a confirma forma nedeterminată 0/0.
- b)Aplică Regula lui L'Hôpital, derivând separat numărătorul f(x) și numitorul (1-eˣ), apoi calculează limita raportului derivatelor.
- c)Pentru a determina numărul de soluții ale ecuației f(x)=0, analizează variația funcției f(x) folosind prima derivată și valorile limită la capetele domeniului.
- c)Determină punctele critice ale funcției f(x) prin rezolvarea ecuației f'(x)=0 și stabilește intervalele de monotonie ale funcției.
- c)Calculează valorile funcției în punctele critice și limitele funcției la ±∞ pentru a schița graficul și a aplica teorema lui Darboux (sau consecințe ale continuității și monotoniei).