Matematică

Limite și continuitate — Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · tehnologic

Limite și continuitateDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} x f (x) = 1$ .
c)
Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)Pentru a calcula derivata unei funcții de forma unui raport, trebuie să aplici regula de derivare corespunzătoare.
a)Formula de derivare a unui raport (u/v)' este (u'v - uv') / v^2.
a)Identifică u(x) = x și v(x) = x^2 + 1, calculează derivatele lor u'(x) și v'(x), apoi înlocuiește-le în formulă.
b)Începe prin a simplifica expresia x ⋅ f(x) înainte de a calcula limita.
b)Pentru a calcula limita la infinit a unei funcții raționale, împarte atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui x din numitor.
b)După înlocuirea lui f(x), vei obține o expresie de forma x^2 / (x^2 + 1). Împarte numărătorul și numitorul la x^2.
c)Monotonia unei funcții este determinată de semnul primei sale derivate.
c)Funcția este crescătoare acolo unde f'(x) ≥ 0 și descrescătoare acolo unde f'(x) ≤ 0. Va trebui să studiezi semnul derivatei f'(x).
c)Deoarece numitorul derivatei f'(x) este întotdeauna pozitiv, semnele lui f'(x) sunt determinate de semnele numărătorului, adică de 1 - x^2. Rezolvă 1 - x^2 = 0 pentru a găsi punctele critice și apoi analizează semnul expresiei.