Matematică

Limite și continuitate, Subiectul III. 1

greuBacalaureat 2024 · Varianta 9 · tehnologic

Limite și continuitateDerivate și funcții

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}

a)
Arătați că $f^{'} (x) = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .
b)
Arătați că $lim_{x \to + \infty} x f (x) = 1$ .
c)
Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a calcula derivata unei funcții de forma $\frac{u ( x )}{v ( x )}$ , trebuie să aplicați regula de derivare a câtului.
a)
Formula de derivare a câtului este $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
a)
Identificați $u (x) = x$ și $v (x) = x^{2} + 1$ , calculați derivatele lor și înlocuiți-le în formulă, apoi simplificați expresia obținută.
b)
Primul pas este să înlocuiți expresia funcției $f (x)$ în limita dată și să simplificați expresia $x f (x)$ .
b)
După înlocuire, veți obține o limită de funcție rațională la infinit, $lim_{x \to + \infty} \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1}$ .
b)
Pentru a calcula limita, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ din numitor, adică la $x^{2}$ .
c)
Intervalele de monotonie ale unei funcții se determină studiind semnul primei derivate a funcției, $f^{'} (x)$ .
c)
Trebuie să găsiți rădăcinile ecuației $f^{'} (x) = 0$ și apoi să analizați semnul lui $f^{'} (x)$ pe intervalele determinate de aceste rădăcini.
c)
Folosiți expresia lui $f^{'} (x)$ obținută la subpunctul a) și rezolvați $1 - x^{2} = 0$ pentru a găsi punctele critice, apoi construiți un tabel de semn pentru $f^{'} (x)$ .

Limite și continuitate, din alte variante, de la ușor la greu.