Matematică

Structuri algebrice — Subiectul II. 2

mediuBacalaureat 2024 · Varianta Model · tehnologic

Structuri algebriceEcuații și inecuații

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \circ y = 2 x y - 3 (x + y) + 1

a)
Arătați că $1 \circ 0 = - 2$ .
b)
Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.
c)
Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \circ (- 2 x) \geq 0$ .

Indicii

0/9

Blocat? Dezvăluie indiciile pas cu pas.

a)
Pentru a arăta că $1 \circ 0 = - 2$ , trebuie să aplici direct definiția legii de compoziție dată.
a)
Înlocuiește valorile $x = 1$ și $y = 0$ în expresia $x \circ y = 2 x y - 3 (x + y) + 1$ .
a)
Calculează $2 \cdot 1 \cdot 0 - 3 (1 + 0) + 1$ și verifică rezultatul.
b)
O lege de compoziție este comutativă dacă $x \circ y = y \circ x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
b)
Pentru a demonstra comutativitatea, trebuie să calculezi expresia pentru $y \circ x$ și să o compari cu expresia dată pentru $x \circ y$ .
b)
Scrie expresia pentru $y \circ x$ înlocuind $x$ cu $y$ și $y$ cu $x$ în definiția legii, adică $2 y x - 3 (y + x) + 1$ , și observă dacă este identică cu $x \circ y$ .
c)
Problema implică doi pași: mai întâi calculezi $x \circ (- 2 x)$ folosind definiția legii, apoi rezolvi inecuația rezultată.
c)
Înlocuiește $y$ cu $- 2 x$ în definiția legii de compoziție pentru a obține o expresie în funcție de $x$ , apoi vei rezolva o inecuație de gradul al doilea.
c)
Calculează $x \circ (- 2 x) = 2 x (- 2 x) - 3 (x + (- 2 x)) + 1$ și simplifică expresia. Apoi, rezolvă inecuația $x \circ (- 2 x) \geq 0$ folosind metoda intervalelor sau semnul funcției de gradul doi.

Structuri algebrice, din alte variante, de la ușor la greu.