Formule de matematică pentru clasele V-VIII

Ce trebuie să știi pe de rost la Evaluarea Națională, pe capitole: calcul cu fracții și procente, radicali, ecuații, Pitagora, arii și volume. Fiecare capitol are dedesubt link către exercițiile lui din subiectele oficiale, fiindcă formula fără exercițiu se uită până a doua zi.

Fă-ți memoratorul de tipărit →

Numere și calcul

Subiectul I și partea de calcul din Subiectul II.

Calcul prescurtat și radicali

$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + c a)$
$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$
$a^{2} = ∣ a ∣$ — nu $a$
$a \cdot b = ab$ și $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ , pentru $a, b \geq 0$
Raționalizare: $\frac{1}{a} = \frac{a}{a}$ , iar $\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}$

Exerciții de numere reale și radicali →Exerciții de calcul algebric →

Numere naturale și divizibilitate

Împărțirea cu rest: $D = \hat{I} \cdot C + R$ , cu $0 \leq R < \hat{I}$
Semne: $(-) \cdot (-) = (+)$ , $(+) \cdot (-) = (-)$ ; la fel la împărțire
$∣ a ∣$ este distanța până la $0$ , deci $∣ a ∣ \geq 0$ întotdeauna
Divizibil cu 2: ultima cifră pară. Cu 5: ultima cifră 0 sau 5
Divizibil cu 3 (sau 9): suma cifrelor se divide cu 3 (sau 9)
Divizibil cu 4: numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși
$c.m.m.d.c. (a, b) \cdot c.m.m.m.c. (a, b) = a \cdot b$

Exerciții de numere naturale și divizibilitate →Exerciții de numere întregi →

Fracții

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ , iar $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Amplificarea și simplificarea nu schimbă valoarea fracției
Fracție zecimală periodică: $0, (a) = \frac{a}{9}$ , iar $0, a (b) = \frac{ab - a}{90}$
Un număr rațional se scrie ca $\frac{a}{b}$ cu $a \in Z$ , $b \in Z^{*}$

Exerciții de numere raționale (fracții, procente) →

Procente

$p %$ din $x$ înseamnă $\frac{p}{100} \cdot x$
Creștere cu $p %$ : înmulțești cu $1 + \frac{p}{100}$ . Scădere: cu $1 - \frac{p}{100}$
Cât la sută din $a$ este $b$ : $\frac{b}{a} \cdot 100%$
O creștere cu $p %$ urmată de o scădere cu $p %$ nu te aduce înapoi la valoarea inițială
Dobândă compusă după $n$ ani: $S = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

Exerciții de numere raționale (fracții, procente) →

Organizarea datelor și medii

Media aritmetică a $n$ numere: $\frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$
Media ponderată: $\frac{\sum x _{i} p _{i}}{\sum p _{i}}$ , unde $p_{i}$ sunt ponderile
Media geometrică a două numere pozitive: $ab$
Într-o diagramă circulară, un procent de $p %$ ocupă un unghi de $\frac{p \cdot 36 0 ^{\circ}}{100}$
Probabilitatea unui eveniment: $\frac{cazuri favorabile}{cazuri posibile}$

Exerciții de organizarea datelor și medii →

Algebră

Ecuații, funcții și calcul cu litere.

Ecuații, inecuații și sisteme

Gradul I: $a x + b = 0$ are soluția $x = - \frac{b}{a}$ , pentru $a \neq = 0$
Sisteme: metoda substituției sau a reducerii; soluția e perechea care verifică ambele ecuații
$Δ = b^{2} - 4 a c$ și $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
Descompunere: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
Vârful parabolei: $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$
Semnul: $a x^{2} + b x + c$ are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele
Dacă $Δ < 0$ , expresia păstrează semnul lui $a$ pe tot $R$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$
$∣ x ∣ < a ⟺ - a < x < a$ ; $∣ x ∣ > a ⟺ x < - a$ sau $x > a$

Exerciții de ecuații, inecuații și sisteme →

Funcții și grafice

Injectivă: $f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$
Surjectivă: orice $y$ din codomeniu are cel puțin o preimagine
Bijectivă = injectivă și surjectivă; doar atunci există $f^{- 1}$
$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — se aplică întâi $g$
Pară: $f (- x) = f (x)$ , simetrică față de $O y$ . Impară: $f (- x) = - f (x)$ , simetrică față de origine
Graficul lui $f^{- 1}$ este simetricul graficului lui $f$ față de prima bisectoare

Exerciții de funcții și grafice →

Geometrie

Subiectul III: figuri plane, asemănare și corpuri geometrice.

Asemănare și teorema lui Pitagora

Pitagora: în triunghi dreptunghic, $ipotenuza^{2} = catet \overset{a}{˘}_{1}^{2} + catet \overset{a}{˘}_{2}^{2}$
Teorema catetei: $c^{2} = ipotenuza \cdot proiec ț ia catetei$
Teorema înălțimii: $h^{2} = proiec ț ia_{1} \cdot proiec ț ia_{2}$
Thales: o paralelă la o latură taie celelalte două laturi în segmente proporționale
În triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare
În triunghi dreptunghic cu un unghi de $3 0^{\circ}$ , cateta opusă e jumătate din ipotenuză

Triunghi dreptunghic, cu înălțimea din unghiul drept

Teorema lui Thales

Exerciții de asemănare și teorema lui pitagora →

Unghiuri și drepte

Unghiuri complementare: suma $9 0^{\circ}$ . Suplementare: suma $18 0^{\circ}$
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente
Două paralele tăiate de o secantă: alterne interne congruente, interne de aceeași parte suplementare
Suma unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$
Suma unghiurilor unui poligon cu $n$ laturi: $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$

Două paralele tăiate de o secantă

Exerciții de unghiuri și drepte →

Triunghiul

Mediana unește vârful cu mijlocul laturii opuse; cele trei se intersectează în $G$ , la $\frac{2}{3}$ de vârf
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente; se intersectează în centrul cercului înscris
Mediatoarea e perpendiculara prin mijlocul laturii; se intersectează în centrul cercului circumscris
Linia mijlocie este paralelă cu latura a treia și egală cu jumătate din ea
În triunghi dreptunghic, mediana din unghiul drept este jumătate din ipotenuză
Inegalitatea triunghiului: fiecare latură e mai mică decât suma celorlalte două

Triunghi oarecare, cu înălțimea din A

Exerciții de triunghiul →

Patrulatere

Paralelogram: laturi opuse paralele și congruente, diagonalele se înjumătățesc
Dreptunghi: paralelogram cu un unghi drept; diagonalele sunt congruente
Romb: paralelogram cu toate laturile congruente; diagonalele sunt perpendiculare
Aria rombului: $A = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$
Trapez: $A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ ; linia mijlocie $= \frac{B + b}{2}$
Pătrat de latură $ℓ$ : $A = ℓ^{2}$ , diagonala $= ℓ 2$

Paralelogram

Trapez

Romb, cu diagonalele

Exerciții de patrulatere →

Cercul

Unghiul la centru are măsura arcului cuprins
Unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins
Tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență
Lungimea arcului de $n^{\circ}$ : $ℓ = \frac{2 π R \cdot n}{360}$
Aria sectorului de $n^{\circ}$ : $A = \frac{π R ^{2} \cdot n}{360}$

Cerc: rază, coardă, unghi la centru

Exerciții de cercul →

Corpuri geometrice

Prismă: $V = A_{b} \cdot h$ . Piramidă: $V = \frac{A _{b} \cdot h}{3}$
Cub de muchie $ℓ$ : $V = ℓ^{3}$ , $A_{t} = 6 ℓ^{2}$ , diagonala $= ℓ 3$
Cilindru: $V = π R^{2} h$ , $A_{l} = 2 π R h$
Con: $V = \frac{π R ^{2} h}{3}$ , $A_{l} = π R G$ , cu $G$ generatoarea
Sferă: $V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$ , $A = 4 π R^{2}$
Aria totală = aria laterală + ariile bazelor

Prismă patrulateră

Piramidă patrulateră

Cilindru

Con circular drept

Sferă

Exerciții de corpuri geometrice →

Lista acoperă formulele cerute frecvent în subiectele de Evaluare Națională, nu întreaga programă de gimnaziu. Pentru conținutul oficial, vezi programa de examen a Ministerului Educației.